Witaj w www.Serwis-Matematyczny.pl
Znajdziesz tutaj krzyżówki matematyczne i łamigłówki, testy interaktywne, animacje, wiadomości o liczbach, artykuły matematyczne, scenariusze lekcji, aforyzmy i dowcipy, fraktale, matematyków starożytnych, siedem cudów świata i wiele innych. Serwis przeznaczony jest dla gimnazjalistów, licealistów oraz ich nauczycieli.
Uczniowie poszerzą swoją wiedzę, a nauczyciele znajdą wiele dodatkowych materiałów lekcyjnych. Polecamy także nauczycielom matematyki robiącym awans zawodowy na nauczyciela mianowanego lub nauczyciela dyplomowanego.
Poczytaj więcej w "O Serwisie", zobacz także  "Zasady korzystania z serwisu".

Temat Dnia

À propos pewnego zadania konkursowego

Swego czasu, na Rejonowym Konkursie Matematycznym (gdy szkoły podstawowe były ośmioklasowe) pojawiło się takie oto zadanie:
Jacek i Wacek zebrali razem 147 kasztanów. Jacek ma dwa razy tyle, ile Wacek miał wtedy, kiedy on miał tyle, ile Wacek ma teraz. Ile kasztanów zebrał Jacek, a ile Wacek?

Zadanie to sprawiło uczniom nie lada kłopot, i bodajże nikt nie rozwiązał go poprawnie. Cały "dowcip" z tym zadaniem polegał na tym, że zostało ono przerobione z oryginalnego zadania, które znajduje się w książce Zinaidy Krawcewicz: "Zadania dla uczniów uzdolnionych matematycznie". Jego treść jest następująca:
Dziadek  i babcia mają razem 147 lat. Dziadek ma dwa razy tyle, ile babcia miała wtedy, kiedy on miał tyle, ile babcia ma teraz. Po ile mają lat?

Autorzy przerobionego zadania nie zwrócili uwagi na bardzo istotny szczegół: przyrost lat babci i dziadka w danym czasie jest taki sam, natomiast przyrost kasztanów Jacka i Wacka w danym odcinku czasu, niestety nie jest jednakowy. 
Proponuję teraz szkice rozwiązań obu zadań: oryginalnego z książki i konkursowego.

Zadanie oryginalne:
Oznaczając wiek dziadka obecnie przez x, a wiek kiedyś przez y, otrzymujemy przyrost lat: x - y. Taki sam przyrost lat dotyczy babci. Można to przedstawić na rysunku w tabelce:

dziadek
babcia

Układ równań będzie wtedy następujący:

Otrzymamy rozwiązanie: x=84, y=63. Babcia ma więc 63 lata, a dziadek 84 lata.

Zadanie konkursowe:
Oznaczmy:
x:  liczba kasztanów Jacka obecnie,
y:  liczba kasztanów Wacka obecnie,
z:  liczba kasztanów Wacka kiedyś (tzn. wtedy, kiedy Jacek miał tyle ile Wacek ma teraz).

Otrzymamy wtedy układ składający się z dwóch równań i jednej podwójnej nierówności:

Biorąc pod uwagę, że x, y i z są liczbami naturalnymi układ ten  ma 13 rozwiązań: