Liczby doskonałe, pierwsze, bliźniacze i zaprzyjaźnione

• Liczby doskonałe
• Liczby pierwsze
• Liczby bliźniacze
• Liczby zaprzyjaźnione

Liczby doskonałe

Liczba doskonała, to taka liczba, która jest równa sumie wszystkich swoich dzielników mniejszych od niej samej. Liczby doskonałe zostały wynalezione przez pitagorejczyków. To oni podali pierwsze cztery kolejne liczby doskonałe: 6, 28, 496, 8128 (np. 6=1+2+3, 28=1+2+4+7+14). Nie wiadomo, czy istnieje nieskończenie wiele liczb doskonałych. Nie wiadomo również, czy istnieje choć jedna liczba doskonała nieparzysta. Zagadnieniem liczb doskonałych zajmował się Euklides (IV w. p.n.e.). Podał on  regułę odnajdowania parzystych liczb doskonałych:

gdzie (2^k-1) musi być liczbą pierwszą dla k>1 (naturalnego). Poniższa tabela ilustruje znajdowanie liczb doskonałych według powyższej reguły:

Liczbami  doskonałymi są również liczby: 2^{23 208}(2^{23 209}-1), 2^{44 496}(2^{44 497}-1). Druga z nich ma w zapisie dziesiętnym ponad 50 tys. cyfr. 

Ciekawostka:

• Liczba doskonała: 2^6972592(2^6972593-1) ma  4 197 919 cyfr. Odkryto ją 1 czerwca 1999 roku.
• Liczba: 2^13466916(2^13466917-1) także jest doskonała.
• Największą znaną dziś liczbą doskonałą parzystą jest 2^30402456·(2^30402457-1) – liczy ona 18 304 103 cyfr!
• Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona ze sobą.

Liczby pierwsze

Co to jest liczba pierwsza, wie chyba każdy. To liczba naturalna, podzielna tylko przez 1 i samą siebie. Liczby 0 i 1 nie są zaliczane do liczb pierwszych, ani do złożonych.

Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Twierdzenie to udowodnił w IV w. p.n.e. matematyk grecki Euklides.  Łatwo szukać kolejnych liczb pierwszych nie większych od danej liczby naturalnej n. Wypisuje się kolejno liczby naturalne od 2 do n. Liczba 2, pierwsza z wypisanych liczb, jest liczbą pierwszą; pozostawia się ją i wykreśla się wszystkie dalsze liczby podzielne przez 2, gdyż nie są to liczby pierwsze.  Z liczb pozostałych po tym wykreśleniu kolejną po liczbie 2 jest liczba 3. Pozostawia się ją jako liczbę pierwszą  i wykreśla się wszystkie dalsze liczby podzielne przez 3, które nie zostały poprzednio wykreślone. Z pozostałych teraz liczb kolejną po 2 i 3 jest liczba 5; pozostawia się ją i wykreśla wszystkie dalsze liczby podzielne przez 5, które nie zostały dotychczas wykreślone. Kontynuując to wykreślanie, dojdzie się wreszcie do tego, że wszystkie liczby, które nie są pierwsze zostaną wykreślone, pozostaną tylko liczby pierwsze nie większe od n. Ta metoda zwana jest sitem Eratostenesa. Znacznie dzisiaj udoskonalona pozwala wyłuskać wszystkie liczby pierwsze z początkowych kilkudziesięciu milionów liczb.

Obecnie za pomocą super szybkich komputerów można znaleźć gigantyczne liczby pierwsze. W Internecie odbywa się "Wielkie Internetowe Poszukiwanie Liczb Pierwszych Mersenne'a" (GIMPS).

Ciekawostki:

• Liczba pierwsza 2^6972593-1 (odkryta 1 czerwca 1999 roku) ma ponad 2 mln cyfr, dokładnie 2 098 960. Jest ona 38 z kolei tzw. liczbą Mersenne'a. 

• Największa odkryta dotąd liczba pierwsza to 43 liczba Mersenne'a: 2^30402457−1 i liczy sobie 9 152 052 cyfr w zapisie dziesiętnym. Została ona odkryta 15 grudnia 2005 roku przez Curtisa Coopera i Stevena Boone'a - uczestników projektu GIMPS.

  Największa liczba pierwsza (2 759 677 cyfr), która nie jest liczbą Mersenne'a:

  27653 × 2^9167433 + 1

  Liczba ta jest jednocześnie piątą największą znaną liczbą pierwszą. Została odkryta w ramach projektu Seventeen or Bust.

  Największą liczbą pierwszą poznaną przed erą elektroniki jest 44-cyfrowa tzw. liczba Ferriera:

  (2¹⁴⁸ + 1) / 17

  znaleziona za pomocą mechanicznego kalkulatora.

• Liczba 11111111111111111111111 złożona z 23 jedynek jest pierwsza.
• Istnieją liczby pierwsze złożone z kolejnych cyfr np.: 23, 67, 4567, 23456789, 1234567891, 1234567891234567891234567891. W dwóch ostatnich liczbach cyfry występują w tak zwanym rosnącym porządku cyklicznym, tzn. po kolei, z tym że po 9 może być 0 lub 1. Trudniej trafić na liczby pierwsze z malejącym porządkiem cyklicznym: 43, 10987, 76543 i 1987.
• Liczba 31415926535897932384626433832795028841 zestawiona z początkowych 38 cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby  π , jest pierwsza.
• Liczba 73939133 nie tylko jest pierwsza, ale liczby otrzymane z niej przez kolejne obcinanie cyfr od prawej też są pierwsze: 7393913, 739391, 73939, 7393, 739, 73, 7.

Liczby bliźniacze

Liczbami bliźniaczymi nazywamy dwie liczby pierwsze różniące się o 2. Liczbami bliźniaczymi są więc np. następujące pary liczb: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), ... Nie wiadomo do chwili obecnej, czy istnieje nieskończenie wiele par liczb bliźniaczych. 

Już w 1919 roku Norweg Brun wykazał, że szereg odwrotności bliźniaczych liczb pierwszych:

jest zbieżny. Zbieżność ta może być spowodowana przez to, że liczb bliźniaczych jest tylko skończenie wiele, a jeśli tak nie jest - to znaczy przynajmniej, że są one "rzadko położone".

Ciekawostka:
Największą znaną obecnie parą liczb bliźniaczych jest para liczb (260 497 545ˇ2^{6 625}-1,  260 497 545ˇ2^{6 625}+1).

Liczby zaprzyjaźnione

Gdy zapytano Pitagorasa: "Co to jest przyjaciel?" - odpowiedział: "Przyjaciel to drugi ja; przyjaźń, to stosunek liczb 220 i 284". Stąd podobno pochodzi owa niezwykła nazwa liczb zaprzyjaźnionych. W starożytności liczbom zaprzyjaźnionym przypisywano znaczenie mistyczne.

Dwie liczby A i B nazywają się zaprzyjaźnionymi jeżeli suma wszystkich dzielników liczby A (mniejszych od niej samej) jest równa liczbie B i odwrotnie, suma wszystkich dzielników liczby B (mniejszych od niej samej) jest równa liczbie A.

Takimi liczbami "przyjaciółkami" są  liczby jak wykazał Pitagoras: 220 i 284. Istotnie, 220=1+2+4+71+142, a więc liczba 220 jest sumą dzielników liczby 284, a 284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110, a więc liczba 284 jest sumą dzielników liczby 220.

Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona sama ze sobą. Znanych jest około miliona par liczb zaprzyjaźnionych. Nie wiadomo jednak czy istnieje ich nieskończenie wiele. Poniższa tabela podaje 11 przykładów  par liczb zaprzyjaźnionych:

Ciekawostka:
Na początku 2001 roku Mariano Garcia znalazł milionową parę liczb zaprzyjaźnionych. W maju tego samego roku znaleziono już  takich par aż 2 122 263!