Liczby doskonałe, pierwsze, bliźniacze i zaprzyjaźnione
Liczby doskonałe
Liczba doskonała, to taka liczba, która jest równa sumie wszystkich
swoich dzielników mniejszych od niej samej. Liczby doskonałe zostały
wynalezione przez pitagorejczyków. To oni podali pierwsze cztery kolejne
liczby doskonałe: 6, 28, 496, 8128 (np. 6=1+2+3, 28=1+2+4+7+14). Nie wiadomo,
czy istnieje nieskończenie wiele liczb doskonałych. Nie wiadomo również,
czy istnieje choć jedna liczba doskonała nieparzysta. Zagadnieniem liczb
doskonałych zajmował się Euklides (IV w. p.n.e.). Podał on regułę
odnajdowania parzystych liczb doskonałych:
N=2k-1(2k-1),
gdzie (2k-1) musi być liczbą pierwszą dla k>1 (naturalnego). Poniższa
tabela ilustruje znajdowanie liczb doskonałych według powyższej reguły:
k |
2k-1 |
2k-1 |
Liczby doskonałe |
2
3
5
7
13
17
19
31
...
|
2
4
16
64
4 096
65 536
262 144
1 073 741 824
...
|
3
7
31
127
8 191
131 071
524 287
2 147 483 647
...
|
6
28
496
8128
33 550 336
8 589 869 056
137 438 691 328
2 305 843 008 139 952 128
...
|
Liczbami doskonałymi są również liczby: 223
208(223 209-1), 244 496(244 497-1).
Druga z nich ma w zapisie dziesiętnym ponad 50 tys. cyfr.
Ciekawostka:
-
Liczba doskonała: 26972592(26972593-1)
ma 4 197 919 cyfr. Odkryto ją 1 czerwca 1999 roku.
-
Liczba: 213466916(213466917-1)
także jest doskonała.
- Największą znaną dziś liczbą doskonałą parzystą jest
230402456·(230402457-1)
– liczy ona 18 304 103 cyfr!
-
Każda liczba doskonała jest
zaprzyjaźniona ze sobą.
Liczby pierwsze
Co to jest liczba pierwsza, wie chyba każdy. To
liczba naturalna, podzielna tylko przez 1 i samą siebie. Liczby 0 i 1 nie
są zaliczane do liczb pierwszych, ani do złożonych.
Liczb
pierwszych jest nieskończenie wiele. Twierdzenie to udowodnił w IV w. p.n.e.
matematyk grecki Euklides. Łatwo szukać kolejnych liczb pierwszych nie
większych od danej liczby naturalnej n. Wypisuje się kolejno liczby naturalne
od 2 do n. Liczba 2, pierwsza z wypisanych liczb, jest liczbą pierwszą;
pozostawia się ją i wykreśla się wszystkie dalsze liczby podzielne przez 2,
gdyż nie są to liczby pierwsze. Z liczb pozostałych po tym wykreśleniu
kolejną po liczbie 2 jest liczba 3. Pozostawia się ją jako liczbę pierwszą
i wykreśla się wszystkie dalsze liczby podzielne przez 3, które nie zostały
poprzednio wykreślone. Z pozostałych teraz liczb kolejną po 2 i 3 jest liczba
5; pozostawia się ją i wykreśla wszystkie dalsze liczby podzielne przez 5, które
nie zostały dotychczas wykreślone. Kontynuując to wykreślanie, dojdzie się
wreszcie do tego, że wszystkie liczby, które nie są pierwsze zostaną wykreślone,
pozostaną tylko liczby pierwsze nie większe od n. Ta metoda zwana jest
sitem Eratostenesa.
Znacznie dzisiaj udoskonalona pozwala wyłuskać wszystkie liczby pierwsze z początkowych
kilkudziesięciu milionów liczb.
Obecnie za pomocą
super szybkich komputerów można znaleźć gigantyczne liczby pierwsze. W Internecie
odbywa się "Wielkie Internetowe Poszukiwanie Liczb Pierwszych Mersenne'a"
(GIMPS).
Ciekawostki:
-
Liczba pierwsza 26972593-1 (odkryta 1
czerwca 1999 roku) ma ponad 2 mln cyfr, dokładnie 2 098 960. Jest ona 38 z
kolei tzw. liczbą Mersenne'a.
-
Największa odkryta dotąd liczba
pierwsza to 43
liczba Mersenne'a:
230402457−1 i liczy sobie
9 152 052 cyfr w zapisie dziesiętnym.
Została ona
odkryta 15 grudnia 2005 roku przez Curtisa Coopera i Stevena Boone'a -
uczestników projektu
GIMPS.
Największa liczba pierwsza
(2 759 677 cyfr), która nie jest liczbą Mersenne'a:
27653 × 29167433 + 1
Liczba ta jest jednocześnie
piątą największą znaną liczbą pierwszą.
Została odkryta w
ramach projektu
Seventeen or Bust.
Największą liczbą pierwszą
poznaną przed erą elektroniki jest 44-cyfrowa tzw.
liczba Ferriera:
(2148 + 1) / 17
znaleziona za pomocą mechanicznego kalkulatora.
-
Liczba 11111111111111111111111 złożona z 23 jedynek jest pierwsza.
-
Istnieją liczby pierwsze złożone z kolejnych
cyfr np.: 23, 67, 4567, 23456789, 1234567891,
1234567891234567891234567891. W dwóch ostatnich liczbach cyfry występują
w tak zwanym rosnącym porządku cyklicznym, tzn. po kolei, z tym że
po 9 może być 0 lub 1. Trudniej trafić na liczby pierwsze z malejącym
porządkiem cyklicznym: 43, 10987, 76543 i 1987.
-
Liczba
31415926535897932384626433832795028841
zestawiona z początkowych 38 cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby
π
, jest pierwsza.
-
Liczba
73939133 nie tylko jest pierwsza, ale liczby otrzymane z niej przez kolejne
obcinanie cyfr od prawej też są pierwsze: 7393913, 739391, 73939, 7393,
739, 73, 7.
Liczby bliźniacze
Liczbami bliźniaczymi nazywamy dwie liczby pierwsze różniące się o
2. Liczbami bliźniaczymi są więc np. następujące pary liczb: (3, 5), (5,
7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), ... Nie wiadomo do chwili
obecnej, czy istnieje nieskończenie wiele par liczb bliźniaczych.
Już w 1919 roku Norweg Brun wykazał, że szereg odwrotności bliźniaczych
liczb pierwszych:
jest zbieżny. Zbieżność ta może być
spowodowana przez to, że liczb bliźniaczych jest tylko skończenie wiele, a
jeśli tak nie jest - to znaczy przynajmniej, że są one "rzadko położone".
Ciekawostka:
Największą znaną obecnie parą liczb bliźniaczych jest para liczb
(260 497 545ˇ26 625-1,
260 497 545ˇ26 625+1).
Liczby zaprzyjaźnione
Gdy zapytano Pitagorasa: "Co
to jest przyjaciel?" - odpowiedział: "Przyjaciel to drugi ja;
przyjaźń, to stosunek liczb 220 i 284". Stąd podobno pochodzi owa
niezwykła nazwa liczb zaprzyjaźnionych. W starożytności liczbom zaprzyjaźnionym
przypisywano znaczenie mistyczne.
Dwie liczby A i B nazywają się zaprzyjaźnionymi jeżeli suma
wszystkich dzielników liczby A (mniejszych od niej samej) jest równa
liczbie B i odwrotnie, suma wszystkich dzielników liczby B (mniejszych od
niej samej) jest równa liczbie A.
Takimi liczbami "przyjaciółkami" są
liczby jak wykazał
Pitagoras: 220 i 284. Istotnie, 220=1+2+4+71+142, a więc liczba 220 jest sumą
dzielników liczby 284, a 284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110, a więc liczba
284 jest sumą dzielników liczby 220.
Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona sama ze sobą. Znanych jest około
miliona par liczb zaprzyjaźnionych. Nie wiadomo jednak czy istnieje ich nieskończenie
wiele. Poniższa tabela podaje 11 przykładów par liczb zaprzyjaźnionych:
A |
B |
220
1 184
2 620
5 020
6 232
10 744
12 285
17 296
63 020
66 928
9 363 584
|
284
1 210
2 924
5 564
6 368
10 856
14 595
18 416
76 084
66 992
9 437 056
|
Ciekawostka:
Na początku 2001 roku Mariano Garcia znalazł milionową parę liczb zaprzyjaźnionych.
W maju tego samego roku znaleziono już takich par aż 2 122 263!
|