Ta strona używa ciasteczek.
Matematyka jest delikatnym kwiatem,
który rośnie nie na każdej glebie
i zakwita nie wiadomo kiedy i jak.
(Jean Fabre)
Twoja wyszukiwarka
Dom
Witamy
Mapa serwisu
Do zrobienia
Krzyżówki
Łamigłówki
Testy online
Gry liczbowe
Gra logiczna
Do czytania
Niezbędnik
*Liczby
Starożytność
Artykuły
Aforyzmy i...
Pomoce
Programy
Animacje
YouTube
Dla belfra
Święto Mat.
Czasopisma
Scenariusze
Konkurs
Inne
O Autorce
O Serwisie
Kontakt

Licznik:  4262599

Hit - Temat dnia
Dzisiaj polecamy
Jednostki wielo i podwielokrotne

Reklama

Liczby

Liczby doskonałe, pierwsze, bliźniacze i zaprzyjaźnione

Liczby doskonałe


Liczba doskonała, to taka liczba, która jest równa sumie wszystkich swoich dzielników mniejszych od niej samej. Liczby doskonałe zostały wynalezione przez pitagorejczyków. To oni podali pierwsze cztery kolejne liczby doskonałe: 6, 28, 496, 8128 (np. 6=1+2+3, 28=1+2+4+7+14). Nie wiadomo, czy istnieje nieskończenie wiele liczb doskonałych. Nie wiadomo również, czy istnieje choć jedna liczba doskonała nieparzysta. Zagadnieniem liczb doskonałych zajmował się Euklides (IV w. p.n.e.). Podał on  regułę odnajdowania parzystych liczb doskonałych:

N=2k-1(2k-1),

gdzie (2k-1) musi być liczbą pierwszą dla k>1 (naturalnego). Poniższa tabela ilustruje znajdowanie liczb doskonałych według powyższej reguły:

k  2k-1 2k-1 Liczby doskonałe
2
3
5
7
13
17
19
31
...
2
4
16
64
4 096
65 536
262 144
1 073 741 824
...
3
7
31
127
8 191
131 071
524 287
2 147 483 647
...
6
28
496
8128
33 550 336
8 589 869 056
137 438 691 328
2 305 843 008 139 952 128
...

Liczbami  doskonałymi są również liczby: 223 208(223 209-1), 244 496(244 497-1). Druga z nich ma w zapisie dziesiętnym ponad 50 tys. cyfr. 

Ciekawostka:

  • Liczba doskonała: 26972592(26972593-1) ma  4 197 919 cyfr. Odkryto ją 1 czerwca 1999 roku.
  • Liczba: 213466916(213466917-1) także jest doskonała.
  • Największą znaną dziś liczbą doskonałą parzystą jest 230402456·(230402457-1) – liczy ona 18 304 103 cyfr!
  • Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona ze sobą.

Liczby pierwsze


Co to jest liczba pierwsza, wie chyba każdy. To liczba naturalna, podzielna tylko przez 1 i samą siebie. Liczby 0 i 1 nie są zaliczane do liczb pierwszych, ani do złożonych.

Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Twierdzenie to udowodnił w IV w. p.n.e. matematyk grecki Euklides.  Łatwo szukać kolejnych liczb pierwszych nie większych od danej liczby naturalnej n. Wypisuje się kolejno liczby naturalne od 2 do n. Liczba 2, pierwsza z wypisanych liczb, jest liczbą pierwszą; pozostawia się ją i wykreśla się wszystkie dalsze liczby podzielne przez 2, gdyż nie są to liczby pierwsze.  Z liczb pozostałych po tym wykreśleniu kolejną po liczbie 2 jest liczba 3. Pozostawia się ją jako liczbę pierwszą  i wykreśla się wszystkie dalsze liczby podzielne przez 3, które nie zostały poprzednio wykreślone. Z pozostałych teraz liczb kolejną po 2 i 3 jest liczba 5; pozostawia się ją i wykreśla wszystkie dalsze liczby podzielne przez 5, które nie zostały dotychczas wykreślone. Kontynuując to wykreślanie, dojdzie się wreszcie do tego, że wszystkie liczby, które nie są pierwsze zostaną wykreślone, pozostaną tylko liczby pierwsze nie większe od n. Ta metoda zwana jest sitem Eratostenesa. Znacznie dzisiaj udoskonalona pozwala wyłuskać wszystkie liczby pierwsze z początkowych kilkudziesięciu milionów liczb.

Obecnie za pomocą super szybkich komputerów można znaleźć gigantyczne liczby pierwsze. W Internecie odbywa się "Wielkie Internetowe Poszukiwanie Liczb Pierwszych Mersenne'a" (GIMPS).

Ciekawostki:

  • Liczba pierwsza 26972593-1 (odkryta 1 czerwca 1999 roku) ma ponad 2 mln cyfr, dokładnie 2 098 960. Jest ona 38 z kolei tzw. liczbą Mersenne'a. 
  • Największa odkryta dotąd liczba pierwsza to 43 liczba Mersenne'a: 230402457−1 i liczy sobie 9 152 052 cyfr w zapisie dziesiętnym. Została ona odkryta 15 grudnia 2005 roku przez Curtisa Coopera i Stevena Boone'a - uczestników projektu GIMPS.

    Największa liczba pierwsza (2 759 677 cyfr), która nie jest liczbą Mersenne'a:

    27653 × 29167433 + 1

    Liczba ta jest jednocześnie piątą największą znaną liczbą pierwszą. Została odkryta w ramach projektu Seventeen or Bust.

    Największą liczbą pierwszą poznaną przed erą elektroniki jest 44-cyfrowa tzw. liczba Ferriera:

    (2148 + 1) / 17

    znaleziona za pomocą mechanicznego kalkulatora.

  • Liczba 11111111111111111111111 złożona z 23 jedynek jest pierwsza.
  • Istnieją liczby pierwsze złożone z kolejnych cyfr np.: 23, 67, 4567, 23456789, 1234567891, 1234567891234567891234567891. W dwóch ostatnich liczbach cyfry występują w tak zwanym rosnącym porządku cyklicznym, tzn. po kolei, z tym że po 9 może być 0 lub 1. Trudniej trafić na liczby pierwsze z malejącym porządkiem cyklicznym: 43, 10987, 76543 i 1987.
  • Liczba 31415926535897932384626433832795028841 zestawiona z początkowych 38 cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby  π , jest pierwsza.
  • Liczba 73939133 nie tylko jest pierwsza, ale liczby otrzymane z niej przez kolejne obcinanie cyfr od prawej też są pierwsze: 7393913, 739391, 73939, 7393, 739, 73, 7.

Liczby bliźniacze


Liczbami bliźniaczymi nazywamy dwie liczby pierwsze różniące się o 2. Liczbami bliźniaczymi są więc np. następujące pary liczb: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), ... Nie wiadomo do chwili obecnej, czy istnieje nieskończenie wiele par liczb bliźniaczych. 

Już w 1919 roku Norweg Brun wykazał, że szereg odwrotności bliźniaczych liczb pierwszych:

Szereg odwrotności bliźniaczych liczb pierwszych

jest zbieżny. Zbieżność ta może być spowodowana przez to, że liczb bliźniaczych jest tylko skończenie wiele, a jeśli tak nie jest - to znaczy przynajmniej, że są one "rzadko położone".

Ciekawostka:
Największą znaną obecnie parą liczb bliźniaczych jest para liczb (260 497 545ˇ26 625-1,  260 497 545ˇ26 625+1).


Liczby zaprzyjaźnione


Gdy zapytano Pitagorasa: "Co to jest przyjaciel?" - odpowiedział: "Przyjaciel to drugi ja; przyjaźń, to stosunek liczb 220 i 284". Stąd podobno pochodzi owa niezwykła nazwa liczb zaprzyjaźnionych. W starożytności liczbom zaprzyjaźnionym przypisywano znaczenie mistyczne.

Dwie liczby A i B nazywają się zaprzyjaźnionymi jeżeli suma wszystkich dzielników liczby A (mniejszych od niej samej) jest równa liczbie B i odwrotnie, suma wszystkich dzielników liczby B (mniejszych od niej samej) jest równa liczbie A.

Takimi liczbami "przyjaciółkami" są  liczby jak wykazał Pitagoras: 220 i 284. Istotnie, 220=1+2+4+71+142, a więc liczba 220 jest sumą dzielników liczby 284, a 284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110, a więc liczba 284 jest sumą dzielników liczby 220.

Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona sama ze sobą. Znanych jest około miliona par liczb zaprzyjaźnionych. Nie wiadomo jednak czy istnieje ich nieskończenie wiele. Poniższa tabela podaje 11 przykładów  par liczb zaprzyjaźnionych:

A B
220
1 184
2 620
5 020
6 232
10 744
12 285
17 296
63 020
66 928
9 363 584
284
1 210
2 924
5 564
6 368
10 856
14 595
18 416
76 084
66 992
9 437 056

Ciekawostka:
Na początku 2001 roku Mariano Garcia znalazł milionową parę liczb zaprzyjaźnionych. W maju tego samego roku znaleziono już  takich par aż 2 122 263!

Nowości
Nowości
[2014-02]
Trójkąty prostokątne - interaktywny test wyboru
[2014-03]
Wielokąty i okręgi - interaktywny test wyboru
[2014-04]
Graniastosłupy - interaktywny test wyboru
Krzyżówki matematyczne
Krzyżówki matematyczne


Krzyżówka Gigant
Krzyżówka Gigant


Krzyżówka Informatyczna
Krzyżówka Informatyczna


Dowcip na dziś
Po co ludzie uczą się matematyki? Żeby uczyć matematyki innych.

Hugo Steinhaus

Zagłosuj na nas
Matematyka Toplista
Toplista eMatma

Wasze opinie
[2009-05-01] Artykuł o zadaniu konkursowym jest b.interesujący. Pozdrawiam Marta K.
[2009-05-14] To jedna z ciekawszych stron o matematyce. Czekam na więcej nowych materiałów. Myszka.
[2009-05-19] Często wykorzystuję na lekcjach testy online. Gimnazjum/Poznań.
Wyślij opinię
Wszelkie prawa zastrzeżone © J. Rzeźnik
Coding ©2008 Logo
Logo