À propos pewnego zadania konkursowego
Swego czasu, na Rejonowym Konkursie
Matematycznym (gdy szkoły podstawowe były ośmioklasowe) pojawiło
się takie oto zadanie:
Jacek i Wacek zebrali razem 147 kasztanów. Jacek ma dwa razy tyle, ile
Wacek miał wtedy, kiedy on miał tyle, ile Wacek ma teraz. Ile kasztanów
zebrał Jacek, a ile Wacek?
Zadanie to sprawiło
uczniom nie lada kłopot, i bodajże nikt nie rozwiązał go poprawnie. Cały
"dowcip" z tym zadaniem polegał na tym, że zostało ono
przerobione z oryginalnego zadania, które znajduje się w książce Zinaidy
Krawcewicz: "Zadania dla uczniów uzdolnionych matematycznie".
Jego treść jest następująca:
Dziadek i babcia mają razem 147 lat. Dziadek ma dwa razy tyle, ile babcia
miała wtedy, kiedy on miał tyle, ile babcia ma teraz. Po ile mają lat?
Autorzy przerobionego zadania nie
zwrócili uwagi na bardzo istotny szczegół: przyrost lat babci i dziadka w
danym czasie jest taki sam, natomiast przyrost kasztanów Jacka i Wacka w danym
odcinku czasu, niestety nie jest jednakowy.
Proponuję
teraz szkice rozwiązań obu zadań: oryginalnego z książki i konkursowego.
Zadanie oryginalne:
Oznaczając
wiek dziadka obecnie przez x, a wiek kiedyś przez y, otrzymujemy przyrost
lat: x - y. Taki sam przyrost lat dotyczy babci. Można to
przedstawić na rysunku w tabelce:
dziadek |
 |
babcia |
 |
wiek: |
teraz |
kiedyś |
dziadek |
x |
y |
babcia |
y |
2y-x |
Uwaga:
Kiedyś znaczy wtedy, kiedy dziadek miał tyle lat, ile babcia ma teraz.
Układ równań będzie wtedy następujący:  Otrzymamy rozwiązanie: x=84, y=63. Babcia ma więc 63 lata, a dziadek 84 lata.
Zadanie konkursowe:
Oznaczmy:
x: liczba kasztanów Jacka obecnie,
y: liczba kasztanów Wacka obecnie,
z: liczba kasztanów Wacka kiedyś (tzn. wtedy, kiedy Jacek miał tyle ile Wacek ma teraz).
Otrzymamy
wtedy układ składający się z dwóch równań i jednej podwójnej nierówności:
 Biorąc
pod uwagę, że x, y i z są liczbami naturalnymi układ ten ma 13 rozwiązań:
Jacek |
x |
98 |
96 |
94 |
92 |
90 |
88 |
86 |
84 |
82 |
80 |
78 |
76 |
74 |
Wacek |
y |
49 |
51 |
53 |
55 |
57 |
59 |
61 |
63 |
65 |
67 |
69 |
71 |
73 |
|
z |
49 |
48 |
47 |
46 |
45 |
44 |
43 |
42 |
41 |
40 |
39 |
38 |
37 |
Tym samym zadanie to, też ma 13 rozwiązań.
|