Z trójkątami pitagorejskimi uczniowie spotykają się przy
okazji twierdzenia Pitagorasa. Często polecamy im poszukanie kilku
takich trójkątów.
Trójkąt pitagorejski, to taki trójkąt, którego
boki są wyrażone liczbami naturalnymi a, b, c związanymi warunkiem:
a2+b2=c2.
Będą to, jak wiemy trójkąty prostokątne.
Znany jest trójkąt egipski o bokach wyrażonych liczbami
3, 4 i 5. W Egipcie wiedziano, że jest to trójkąt prostokątny, i używano go
do wyznaczania kątów prostych przy odnawianiu granic gruntowych
zmywanych dorocznymi wylewami Nilu. Pitagoras przekazał nam związek między
bokami trójkąta egipskiego, wyrażony wzorem 32+42=52.
Poszukując innych trójkątów, których boki a, b, c spełniałyby
warunek a2+b2=c2, Pitagoras znalazł
wzory, które w dzisiejszej symbolice można napisać w postaci:
gdzie n oznacza dowolną liczbę naturalną.
Oto tabelka ułożona na tej zasadzie.
n
I przyprostokątna 2n+1
II przyprostokątna 2n(n+1)
Przeciwprostokątna 2n2+2n+1
1
2
3
4
5
6
...
3
5
7
9
11
13
...
4
12
24
40
60
84
...
5
13
25
41
61
85
...
Z tabelki powyższej wynika, że liczby wyrażające II przyprostokątną i
przeciwprostokątną są liczbami bezpośrednio sąsiadującymi w naturalnym
ciągu liczb. Można więc powiedzieć, że gdziekolwiek w ciągu naturalnym
znajdziemy dwie liczby sąsiednie, których suma jest pełnym kwadratem,
liczby te wraz z pierwiastkiem drugiego stopnia z ich sumy stanowią
zespół boków pitagorejskich trójkąta:
4, 5
...
12, 13
...
24, 25
...
40, 41
...
60, 61
...
84, 85
...
32
52
72
92
112
132
Oprócz wzoru (I) przypisywanego Pitagorasowi, znane są
inne znacznie późniejsze wzory do odnajdowania trójkątów
pitagorejskich. Oto jeden z nich:
(II)
(m2 + n2)2=(m2
- n2)2 + (2mn)2.
W równaniu tym w miejsce m i n podstawiać można
dowolne liczby naturalne (pod warunkiem, że m>n). Przyjmują na przykład
m=3, n=1,otrzymujemy 102=82 + 62, czyli
zespół liczb 6, 8, 10, którego nie obejmuje powyższa tabelka. Wzór (II)
jest więc ogólniejszy niż wzór (I). Nie dość na tym. Wzór (II)
zawiera wszystkie możliwe trójki pitagorejskie. Jeżeli chcemy uniknąć
powtarzania się trójkątów pitagorejskich podobnych (podobne są np. trójkąty
o bokach: 3, 4, 5 i 6, 8, 10), to należy przestrzegać następujących reguł:
jedna z liczb m i n powinna być parzysta, druga
nieparzysta,
liczby m i n powinny być pierwsze względem siebie,
czyli nie powinny mieć żadnego wspólnego dzielnika z wyjątkiem jedności,
m > n.
Poniższa tabelka ułożona jest w myśl powyższych reguł.