Trójkąty pitagorejskie

Z trójkątami pitagorejskimi uczniowie spotykają się przy okazji twierdzenia Pitagorasa. Często polecamy im  poszukanie kilku takich trójkątów.

Trójkąt pitagorejski, to taki trójkąt, którego boki są wyrażone liczbami naturalnymi a, b, c związanymi warunkiem: a²+b²=c². Będą to, jak wiemy trójkąty prostokątne. Znany jest trójkąt egipski o bokach wyrażonych liczbami 3, 4 i 5. W Egipcie wiedziano, że jest to trójkąt prostokątny, i używano go do wyznaczania kątów prostych przy odnawianiu granic gruntowych zmywanych dorocznymi wylewami Nilu. Pitagoras przekazał nam związek między bokami trójkąta egipskiego, wyrażony wzorem 3²+4²=5².

Poszukując innych trójkątów, których boki a, b, c spełniałyby warunek a²+b²=c², Pitagoras znalazł wzory, które w dzisiejszej symbolice można napisać w postaci:

a=2n+1,   b=2n(n+1),   c=2n²+2n+1,
(I)              (2n+1)²+(2n²+2n)²=(2n²+2n+1)²,

gdzie n oznacza dowolną liczbę naturalną. 
Oto tabelka ułożona na tej zasadzie.

Z tabelki powyższej wynika, że liczby wyrażające II przyprostokątną i przeciwprostokątną są liczbami bezpośrednio sąsiadującymi w naturalnym ciągu liczb. Można więc powiedzieć, że gdziekolwiek w ciągu naturalnym znajdziemy dwie liczby sąsiednie, których suma jest pełnym kwadratem, liczby te wraz  z pierwiastkiem drugiego stopnia z ich sumy stanowią zespół boków pitagorejskich trójkąta:

Oprócz wzoru (I) przypisywanego Pitagorasowi, znane są inne znacznie późniejsze wzory do odnajdowania trójkątów pitagorejskich. Oto jeden z nich:

(II)     (m² + n²)²=(m² - n²)² + (2mn)².

W równaniu tym w miejsce m i n podstawiać można dowolne liczby naturalne (pod warunkiem, że m>n). Przyjmują na przykład m=3, n=1,otrzymujemy 10²=8² + 6², czyli zespół liczb 6, 8, 10, którego nie obejmuje powyższa tabelka. Wzór (II) jest więc ogólniejszy niż wzór (I). Nie dość na tym. Wzór (II) zawiera wszystkie możliwe trójki pitagorejskie. Jeżeli chcemy uniknąć powtarzania się trójkątów pitagorejskich podobnych (podobne są np. trójkąty o bokach: 3, 4, 5 i 6, 8, 10), to należy przestrzegać następujących reguł:

• jedna z liczb m i n powinna być parzysta, druga nieparzysta,
• liczby m i n powinny być pierwsze względem siebie, czyli nie powinny mieć żadnego wspólnego dzielnika z wyjątkiem jedności,
• m > n.