Termin fraktale jest nowy w języku
matematyki, ale figury będące fraktalami konstruowali już bardzo dawno temu
wybitni matematycy tacy jak: Peano, Hilbert, a zwłaszcza Sierpiński. Te
konstrukcje były im potrzebne głównie po to, aby lepiej wyjaśnić
podstawowe pojęcia matematyczne. Co to jest wymiar figury? Co to
jest linia?
Teoria fraktali, to obecnie bardzo
żywo rozwijająca się i bardzo modna dyscyplina. Zajmują się nią specjaliści
różnych nauk: matematycy, fizycy, mechanicy. Wielu badaczy twierdzi, że geometria fraktali jest geometrią przyrody. W chmurach, liniach wybrzeży
morskich, łańcuchach górskich, płatkach śniegu, drzewach, pianie mydlanej
można odkryć kształty
fraktali. Cóż więc to takiego, te fraktale? Fraktale są
figurami, w których część figury jest podobna do całości. Ale ciągle
jeszcze nie istnieje ścisła definicja fraktala. Najwybitniejszym znawcą
fraktali i twórcą tego terminu, jest matematyk i informatyk amerykański
Benoit Mandelbrot. W swoim referacie wygłoszonym na Międzynarodowym
Kongresie Matematyków w Warszawie w 1983 roku, wypowiedział zdanie, że
jest jeszcze za wcześnie na formułowanie ścisłej definicji fraktala,
ponieważ ciągle jeszcze nie rozumiemy dostatecznie głęboko istoty tego pojęcia.
Fraktale mają obecnie swoje miejsce w dziedzinie matematycznej zwanej
teorią chaosu. Fraktale są ściśle związane z komputerami. Bez nich nie byłoby możliwe
wytworzenie tak wielu przepięknych fraktali, które są swoistymi,
jedynymi w swym rodzaju obrazami.
Oto przykłady:
Niektóre, proste przykłady fraktali można pokazać uczniom gimnazjum (a może
i nawet już szkoły podstawowej). Wystarczy wykonanie paru rysunków.
Narysuj
kwadrat (o boku np. 4 cm). Następnie na każdym boku zbuduj kwadrat o długości
boku dwa razy mniejszej, tak jak na rysunku poniżej (rysunek po lewej
stronie). Powtarzaj to budowanie tak długo, jak będzie to możliwe.
Kwadraty rysowane w tym samym kroku pomaluj
tym samym kolorem. Co
przedstawia tabelka? Spróbuj wypełniać ją dalej.
Podobne zadanie można zrobić z trójkątem równobocznym.
Fraktale takie można reprodukować w nieskończoność. Ćwiczenie to wyrabia
u uczniów zdolność do zauważania pewnych prawideł.
Nr wzoru (kroku)
Kwadrat
Trójkąt
1
2
3
4
...
1=20
4=22
16=24
64=26
...
1=30
3=31
9=32
27=33
...
Fraktale można też tworzyć jak na
rysunkach poniżej, wchodząc do wnętrza trójkąta lub kwadratu.
Można
zachęcić uczniów, aby popróbowali tworzyć fraktale na komputerze.
Uwaga:
Pojęcie fraktala można uogólnić,
przyjmując, że jest to dowolny obiekt (nie tylko więc figura), w którym część
jest podobna do całości. Fraktalami są wtedy także poniższe wyrażenia
arytmetyczne: