Fraktale, co to takiego?

Termin fraktale jest nowy w języku matematyki, ale figury będące fraktalami konstruowali już bardzo dawno temu wybitni matematycy tacy jak: Peano, Hilbert, a zwłaszcza Sierpiński. Te konstrukcje były im potrzebne głównie po to, aby lepiej wyjaśnić podstawowe pojęcia  matematyczne. Co to jest  wymiar figury? Co to jest linia?  

Teoria fraktali, to obecnie bardzo żywo rozwijająca się i bardzo modna dyscyplina. Zajmują się nią specjaliści różnych nauk: matematycy, fizycy, mechanicy. Wielu badaczy twierdzi, że geometria fraktali jest geometrią przyrody.  W chmurach, liniach wybrzeży morskich, łańcuchach górskich, płatkach śniegu, drzewach, pianie mydlanej można odkryć kształty fraktali. Cóż więc to takiego, te fraktale? Fraktale są figurami, w których część figury jest podobna do całości. Ale ciągle jeszcze nie istnieje  ścisła definicja fraktala. Najwybitniejszym znawcą fraktali i twórcą tego terminu, jest matematyk i informatyk amerykański Benoit Mandelbrot. W swoim referacie wygłoszonym na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Warszawie w 1983 roku, wypowiedział zdanie, że  jest jeszcze za wcześnie na formułowanie ścisłej definicji fraktala, ponieważ ciągle jeszcze nie rozumiemy dostatecznie głęboko istoty tego pojęcia. Fraktale mają obecnie swoje miejsce w dziedzinie matematycznej zwanej teorią chaosu. Fraktale są ściśle związane z komputerami. Bez nich nie byłoby możliwe wytworzenie tak wielu przepięknych  fraktali, które są swoistymi, jedynymi w swym rodzaju obrazami.
Oto przykłady:

Niektóre, proste przykłady fraktali można pokazać uczniom gimnazjum (a może i nawet już szkoły podstawowej). Wystarczy wykonanie paru rysunków.

Narysuj kwadrat (o boku np. 4 cm). Następnie na każdym boku zbuduj kwadrat o długości boku dwa razy mniejszej, tak jak na rysunku poniżej (rysunek po lewej stronie). Powtarzaj to budowanie tak długo, jak będzie to możliwe. Kwadraty rysowane w tym samym kroku pomaluj tym samym kolorem. Co przedstawia tabelka? Spróbuj wypełniać ją dalej.

Podobne zadanie można zrobić z trójkątem równobocznym. Fraktale takie można reprodukować w nieskończoność. Ćwiczenie to wyrabia u uczniów zdolność do zauważania pewnych prawideł.

Fraktale można też tworzyć jak na rysunkach poniżej, wchodząc do wnętrza trójkąta lub kwadratu.

Można zachęcić uczniów, aby popróbowali tworzyć fraktale na komputerze.

Uwaga: Pojęcie fraktala można uogólnić, przyjmując, że jest to dowolny obiekt (nie tylko więc figura), w którym część jest podobna do całości. Fraktalami są  wtedy także poniższe  wyrażenia arytmetyczne: